【本当に分かる？】重さが違う2つの物体、速く落ちるのはどっち？

2022年8月2日雑談

※本記事の作成時点：長女（小3）、次女（年長）

突然ですが、クイズです。

形や大きさが全く同じ2つの物体があるとします。
とりあえず、球体にしておきましょう。

これら2つの球体は、重さが違います。

なぞなぞではなく、物理の問題として考えてみてください！

有名なピサの斜塔の問題

上のクイズは、ガリレオ＝ガリレイがピサの斜塔で実験したとされる有名な問題です。
※本当は実験していないという説もあるようですが。

ガリレオ＝ガリレイは、当時の大方の予想に反して2つの物体が「同時に」地上に落下することを実証してみせました。

とうわけで、上のクイズの答えは「同時に落ちる」……

本当に同時に落ちますか？

僕は、2つの球体は同時には落ちないと思います。

空気抵抗？
いえいえ、空気抵抗は無視しても無視しなくても、どちらでも構いません。

単純な思考実験をしてみましょう。
条件は以下のとおりとします。

これらの球体Ａ（バスケットボール）と球体Ｂ（ヘリウム入りの風船）を、ピサの斜塔のてっぺんから同時に落としてみましょう。

そもそも落ちないということは空気抵抗は関係ありませんね。

球体Ｂに少しずつ重りをつけていくと、ゆっくりと落ち始めます。
つまり、結論はこのようになります。

不思議ですね！

どうして重い方が速く落ちるのか？

ここから下には、「ヒント①」、「ヒント②」、そして「答えの種明かし」の順で書いてあります。
ご自分で考えたい方は、ここで画面のスクロールを一旦ストップしてください。

ヒント①

この現象のヒントは「浮力」です。
お風呂で体が軽くなるアレ。

空気中や液体中に物体を置くと、その物体には浮力がはたらきます。

このクイズの場合、球体は空気からの浮力を受けることになり、その浮力の大きさは球体の体積によって決まります。
今回の2つの球体は形も大きさも同じですので、同じ大きさの浮力がはたらくことになります。

ヒント②

この現象のもう一つのヒントは「重力加速度」です。

物体が落下するスピードの変化は「重力加速度」によって決まります。
「重力加速度」は物体の質量によりませんので、「重力加速度に起因する力（重力）」だけを受ける2つの物体は、同じ速さで落下します。

さてさて、今回の2つの球体は、それぞれ「重力」しか力を受けていないのでしたっけ？？

答えの種明かし

なぜ、重い球体の方が速く落ちるのか、その理由は以下のとおりです。

球体の質量\(m\)、重力加速度\(g\)とおくと、球体に対してはたらく「重力」は\(mg\)になります。
また、球体に対してはたらく「浮力」を\(F\)としておきます。

重力\(mg\)と浮力\(F\)は、上下反対向きにはたらいています。
ですので、球体に対してはたらく力\(f\)は、重力\(mg\)と浮力\(F\)を差し引きして、以下のようになります。

$$ f = mg – F $$

重力も浮力も、人間の目には直接は見えず区別がつきません。
そうすると、人間は、重力\(mg\)と浮力\(F\)を差し引きした力\(f\)を「見かけ上の重力」と見てしまいます。

「重力」は「質量」に「重力加速度」を掛けて計算されることは上で述べました。

同様に、「見かけ上の重力」は「質量」に「見かけ上の重力加速度」をかけて計算できると思いませんか？
それを表すために、上の式を変形してみましょう。

$$ f = m(g – \frac{F}{m}) $$

つまり、「見かけ上の重力加速度」は下のように表されます。

$$ g – \frac{F}{m} $$

さて、もともとの「重力加速度」は\(g\)でしたから、球体の質量\(m\)は全く関係ありませんでした。
これなら、ガリレオ先生の言ったとおり、重い物体も軽い物体も同時に落下します。

ですが、この「見かけ上の重力加速度」には質量\(m\)が入っています！

ここで、質量\(m\)が十分に大きければ、\( \frac{F}{m} \)がゼロに限りなく近づきますので、「見かけ上の重力加速度」は\(g\)に限りなく近づきます。

このように「見かけ上の重力加速度」が\(g\)とほぼ等しくなったのがバスケットボールです。

一方、質量\(m\)が小さくなるにつれて、\( \frac{F}{m} \)は大きくなっていきます。
その結果、「見かけ上の重力加速度」は\(g\)よりもどんどん小さくなっていき、やがてゼロになり、さらにはマイナスになってしまいます。

この、「見かけ上の重力加速度」がマイナスになってしまったのが、ヘリウム入りの風船なのです。

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